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Matemáticas
Autoevaluación inicial

Hay que contestar todas las preguntas eligiendo una de las posibles respuestas.

Sólo hay una respuesta correcta por pregunta. La clave puede ser un pequeño matiz.

Haz esta prueba una sola vez, sin ayuda externa y en menos de cinco minutos (que ya están contando).

 

1. Series.
La series de Taylor expresan una función como la suma ponderada de sus derivadas en un punto.
Las series son divergentes cuando tienen un número infinito de términos y, por tanto, su suma es infinita.
Una integral finita es una serie convergente.
Las series de Fourier expresan cualquier función como la suma ponderada de funciones trigonométricas.

 

2. Vectores.
Un vector geométrico es un objeto matemático que en física se usa para representar una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, su dirección y su sentido.
Matemáticamente cualquier función continua y derivable es un vector, porque un espacio vectorial es cualquier conjunto de objetos en que se ha definido la suma y el producto por un escalar.
Hay vectores de dimensión infinita, pero en ellos no es posible definir distancias entre ellos.
Se definen tres tipos de productos habituales entre vectores geométricos de un plano según que el resultado sea un número, otro vector del plano u otro vector perpendicular al plano. Además se define el producto entre un número y un vector cuyo resultado es otro vector del plano.

 

3. Medidas y errores. Si efectuamos una medida y obtenemos el valor 1156'52 con un error estimado de 11'897, lo expresamos:
1157 ± 12
1156'5 ± 11'9
1156'52 ± 11'90
1156'520 ± 11'897

 

4. Medidas y errores. Supongamos que se mide el diámetro de una esfera con una precisión de 1cm, resultando D = (150 ± 1) cm. Indicar el área (A) y el volumen (V) de la esfera con el error correspondiente. A = 4πr2; V = (4/3)πr3
A = (70 685'8 ± 942'5) cm2; V = (1 767 145'9 ± 35 342'9) cm3
A = (70 685'8 ± 945'6) cm2; V = (1 767 145'9 ± 35 579'1) cm3
A = (7'069 ± 0'095) m2; V = (1'767 ± 0'036) m3
A = (7'07 ± 0'09) m2; V = (1'77 ± 0'04) m3

 

5. Sistemas de coordenadas.
La ecuación r = 1 , representa un círculo en coordenadas cartesianas (siendo r = (x2 + y2)(1/2)), un cilindro en coordenadas cilíndricas y una esfera en coordenadas esféricas.
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.
Las coordenadas cartesianas definen la posición de un punto en el espacio mediante tres distancias. Las cilíndricas lo hacen con dos distancias y un ángulo. Las esféricas con una distancia y dos ángulos. Las coordenadas que definen la posición de un punto en el espacio tridimensional mediante tres ángulos se denominan coordenadas polares.
Todo lo anterior es correcto.

 

6. Trigonometría. Indicar las equivalencias que se cumplen para cualesquiera ángulos θ y φ
cos(-θ) = cos(θ)
sen(-θ) = - sen(θ)
cos(φ) + i sen(φ) = eiφ (i es la unidad imaginaria)
cos2(θ) + sen2(θ) = 1
sen(θ + φ) = sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ)
cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ) - sen(θ) sen(φ)
Todo lo anterior es correcto.

 

7. Estadística.
Los datos estadísticos son interpretables y, por tanto, no sirven para el estudio objetivo de la realidad.
Los datos estadísticos nunca son concluyentes y siempre dejan opción a las excepciones.
En física, la estadística permite estudiar las probabilidades de que se produzcan desviaciones o errores respecto de un estado central, pero este estado central viene dado por una mecánica determinista.
La mecánica determinista es una idealización de la realidad. Ésta, ya sea a nivel microscópico o macroscópico no puede estudiarse con una precisión superior a la impuesta por las leyes de la estadística.

 

8. Supongamos el dibujo de una guitarra realizado a escala natural. Junto a él hay dibujadas dos escalas gráficas, una horizontal y otra vertical. Con la variación de la humedad ambiental, el papel se ha encogido un 1% en dirección horizontal y un 0'5% en dirección vertical. Si una cuerda aparece dibujada a 8º respecto de la horizontal con una longitud de 650 mm, calcular cuál es su longitud (L) y ángulo (φ) en la realidad.
L = 653'33 mm; φ = 8'04º
L = 656'50 mm; φ = 7'96º
L = 656'57 mm; φ = 8'00º
L = 654'91 mm; φ = 8'00º

 

9. Logaritmos. Indicar qué sentencias son correctas.
Los logaritmos más utilizados tienen como base el 2, el 10 (logaritmo decimal) o el número e (logaritmo natural).
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador más el logaritmo del denominador
Cualquiera que sea la base, el logaritmo de cero, siempre es uno.
Todo lo anterior es correcto.

 

10. Derivadas e integrales.
La derivada de una función en un punto nos indica la pendiente de la función en dicho punto.
La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.
La única función que es igual a su derivada y a su primitiva es f(x) = ex
Todo lo anterior es correcto.

 

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Ejemplo: 430 + uno = 431

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